INTEGRALES Y DERIVADAS

Esta entrada es para introducir la relación entre las funciones denominadas integrales indefinidas y la derivada de una función en un punto.

La derivada es una función que nos da el ritmo de cambio de una magnitud con respecto a otra de la que depende. Por ejemplo, la velocidad instantánea de un móvil (un coche, una partícula, ...) se halla como la derivada de su posición con respecto al tiempo. Si ese móvil varía su posición con respecto a cada una de las componentes espaciales (x, y, z), entonces deberá hallarse esa derivada con respecto a cada una de ellas y el resultado se expresaría como un vector de 3 componentes.

Pero para hacerlo más accesible supongamos que consideramos un móvil que solamente se mueve en un eje. Puedes imaginarte un coche que se mueve en una recta. Supón que el coche pasa un tiempo acelerando, luego se mantiene a velocidad constante, después frena hasta detenerse y finalmente va un rato marcha atrás.

Imagina que hemos registrado en la computadora de a bordo el registro del velocímetro en función del tiempo. Y a partir de esas medidas queremos hallar la distancia total recorrida. Pues bien, lo que deberemos hacer para ello es calcular la integral definida de la velocidad en función del tiempo entre dos instantes dados.

Con este ejemplo práctico y la explicación del vídeo  de base más matemática, espero que se haya colaborado a comprender la relación mutua entre derivadas e integrales y como ambos conceptos están íntimamente ligados al concepto de límite infinitesimal, por el cuál sumamos infinitos términos pero que están infinitamente cerca los unos de los otros, dentro de un intervalo dado.

Aplicado a la cinemática (el estudio del movimiento de los cuerpos sin preocuparse de las causas que los generan), hemos visto que la derivada es útil para poder hallar la velocidad de un móvil si conocemos la función que describe la posición con respecto al tiempo; pero también hemos visto que la función integral nos puede ayudar a obtener el espacio recorrido (más una constancia que en realidad se corresponde con el espacio inicial de partida) si conocemos la velocidad el móvil en función del tiempo.